1.2　典型题（含历年真题）详解

一、选择题

1．等于（　　）．[2013年真题]

A．

B．－

C．

D．－

【答案】D

【解析】在x＝处连续，极限值等于函数值．

2．（　　）．[2012年真题]

A．1

B．cos1

C．0

D．

【答案】B

【解析】因为函数在处连续，故．

3．（　　）．[2011年真题]

A．0

B．－1

C．2

D．3

【答案】C

【解析】．

4．设函数（　  ）．

A．0

B．1

C．1

D．不存在

【答案】D

【解析】由，

所以不存在．

5．当x0时，ln（1＋ax）是2x的等价无穷小量，则a＝（　　）．

A．－1

B．0

C．1

D．2

【答案】D

【解析】，a＝2．

6．设则a＝（　　）．

A．－1

B．2

C．1

D．2

【答案】A

【解析】因为，所以a＝－1．

7．设（　　）．

A．连续的

B．可导的

C．左极限≠右极限

D．左极限＝右极限

【答案】D

【解析】又因为f(0)＝2，所以函数f(x)在x＝0处不连续也不可导．

8．设函数在x＝2处连续，则a＝（　　）．

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】因为函数在x＝2处连续，则有，即

故a＝．

9．设函数，则＝（　　）．

A．0

B．1

C．2

D．3

【答案】D

【解析】

10．（　　）．

A．0

B．1

C．

D．2

【答案】A

【解析】．

11．设函数则（　　）．

A．0

B．1

C．2

D．4

【答案】D

【解析】因为所以．

12．设则＝（　　）．

A．0

B．1

C．3

D．5

【答案】C

【解析】

14．函数在点处有定义，是在点处连续的（　　）．

A．必要条件，但非充分条件

B．充分条件，但非必要条件

C．充分必要条件

D．非充分条件，亦非必要条件

【答案】A

【解析】函数在处有定义不一定在该点连续，但是函数在处连续在该点就一定有定义．

15．设存在，则在处（　　）．

A．一定有定义　

B．一定无定义

C．有定义且

D．可以有定义，也可以无定义

【答案】D

【解析】的存在与函数在该点是否有定义无关．

16．等于（ 　 ）．

A．0

B．

C．2

D．1

【答案】C

【解析】．

17．（　　）．

A．0

B．tan1

C．

D．2

【答案】B

【解析】在处连续，故．

18．，则k＝（　　）．

A．2

B．－2

C．

D．－

【答案】B

【解析】，则．

19．下列极限正确的是（　　）．

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】A项，；B项，；C项，因为当时，x为无穷小量，又是有界的，所以等于0；D项，．

30．x＝1是函数f（x）＝ 的（　　）．

A．连续点

B．可去间断点

C．无穷间断点

D．跳跃间断点

【答案】B

【解析】，所以x＝1是f（x）的间断点，又因为，所以x＝1是第一类间断点中的可去间断点．

21．设在x＝0处连续，且f（0）＝，则a＝（　　）．

A．2

B．2

C．

D．

【答案】D

【解析】因在x＝0连续，则，即

又，所以，即．

22．设为连续函数，则a＝（　　）．

A．

B．

C．2

D．1

【答案】A

【解析】因为在x＝2连续，所以

23．要使在x＝0处连续，应补充f（0）等于（　　）．

A．

B．6

C．

D．0

【答案】B

【解析】因为所以要使f（x）在x＝0处连续，应补充f（0）＝6．

24．在下列函数中，当x→0时，函数f（x）的极限存在的是（　　）．

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】A项，，所以当x→0时极限不存在；B项，，所以当x→0时极限不存在；C项，，所以当x→0时极限存在；D项，，极限不存在．

25．是函数f（x）在点x＝x₀处连续的（　  ）．

A．必要条件

B．充分条件

C．充分必要条件

D．既非充分又非必要条件

【答案】A

【解析】函数f（x）在点x＝x₀处连续的充要条件是因此只是f（x）在点x₀处连续的必要条件．

26．已知，则点x₀是函数的（　　）．

A．间断点

B．连续点

C．可导点

D．连续性不确定的点

【答案】D

【解析】因为中的A不一定等于函数值，所以在x₀处的连续性是不确定的．

27．设f（x）在点x₀处连续，则（　  ）．

A．一定存在

B．一定不存在

C．一定存在

D．不一定存在

【答案】C

【解析】A项，在x＝0处连续，但在x＝0处导数不存在；B项，在x＝0处连续，导数也存在；CD两项，在x₀处连续即左极限＝右极限＝f（x₀），故极限一定存在．

28．设，则（　　）．

A．0

B．1

C．无穷大

D．不能判定

【答案】Ｄ

【解析】，则可能有以下三种情况：

二、填空题

1．设函数在x＝1处连续，则a＝______．[2013年真题]

【答案】1

【解析】因为函数x＝1处连续，则有，，

，故，＝1．

2．______．[2012年真题]

【答案】

【解析】由等价无穷小可得．

3．已知函数，则＝______．[2011年真题]

【答案】0

【解析】．

4．______．

【答案】

【解析】．

5．______．

【答案】

【解析】．

6．设函数在点x＝0处的极限存在，则a＝______．[2010年真题]

【答案】1

【解析】函数在点x＝0处的极限存在，故有，

，故a＝1．

7．＝______．

【答案】1

【解析】

8．______．

【答案】

【解析】

9．______．

【答案】

【解析】由等价无穷小知，，所以

10．若则k＝______．

【答案】

【解析】，．

11．设函数，在x＝0处连续，则a＝______．

【答案】2

【解析】因为函数在x＝0处连续，故有，由于，故

所以a＝2．

12．＝______．

【答案】

【解析】解法1：

解法2：因为所以

13．______．

【答案】6

【解析】

14．______．

【答案】2

【解析】所以

15．______．

【答案】

【解析】

16．已知函数在x＝0处连续，则ａ＝______．

【答案】2

【解析】函数f（x）在x＝0处连续，可知，，

，得a＝2．

14．函数的间断点为______．

【答案】x＝1和x＝0

【解析】分母时分式无意义，则x＝1和x＝0为间断点．

三、解答题

1．计算[2013年真题]

解：此处为型极限，可使用洛必达法则

2．计算[2012年真题]

解：

3．计算[2011年真题]

解：

4．计算

解：

5．计算

解：

6．求．

解：

7．已知，求a．

解：

又，所以a＝2．

8．设在x＝0处连续，求k的值．

解：在x＝0处，f（0）＝esin0－3＝2，

　  　

，

f（x）在x＝0处连续f（0）＝f（0－0）＝f（0＋0），所以k＝－2．

9．求的间断点，并指出类型．

解：因为，所以x＝0，x＝1，x＝2是f（x）的间断点．

，又因，f（0）、f（1）、f（2）都不存在，所以x＝0是f（x）的第一类间断点（可去间断点）；x＝1，x＝2是，f（x）的第二类间断点（无穷间断点）．

10．若，求a与b．

解：若则当x→2时，x2＋ax＋b与x－2为同阶无穷小量．

令x2＋ax＋b＝（x－2）（x＋k），则＝5，此时k＝3，代入上式得x2＋ax＋b＝（x－2）（x＋3），即x2＋ax＋b＝x2＋x－6，所以a＝1，b＝6．