2.4　矩阵分析

矩阵是MATLAB语言的基本运算单元。本节主要介绍矩阵分析与处理的常用函数和功能。

2.4.1　方阵的行列式

一个行数和列数相同的方矩阵可以看作一个行列式，而行列式是一个数值。MATLAB语言用D=det（A）函数求方矩阵的行列式的值。例如：

已知一个方矩阵A=[1 0 1；2 1 0；0 2 1]，求行列式的值D。

2.4.2　矩阵的秩和迹

1．矩阵的秩

与矩阵线性无关的行数或者列数称为矩阵的秩。MATLAB语言用r=rank（A）函数求矩阵的秩。例如：

2．矩阵的迹

一个矩阵的迹等于矩阵的对角线元素之和，也等于矩阵的特征值之和。MATLAB语言用t=trace（A）函数求矩阵的迹。例如：

2.4.3　矩阵的逆和伪逆

1．方阵的逆矩阵

对于一个方矩阵A，如果存在一个同阶方矩阵B，使得A·B=B·A=I（其中I为单位矩阵），则称B为A的逆矩阵，A也为B的逆矩阵。

在线性代数里用公式计算逆矩阵相对烦琐，然而，在MATLAB语言里，用求逆矩阵的函数inv（A）求解却很容易。例如：

显然，A∗B=B∗A=I，故B与A是互逆矩阵。

2．矩阵的伪逆矩阵

如果矩阵A不是一个方阵，或者A为非满秩矩阵，那么就不存在逆矩阵，但可以求广义上的逆矩阵B，称为伪逆矩阵，MATLAB语言用B=pinv（A）函数求伪逆矩阵。例如：

在线性代数中，可以用矩阵求逆的方法求解线性方程组的解。将设有n个未知数，由n个方程构成线性方程组，表示为

用矩阵表示为

Ax=b

其中：

线性方程组的解为

x=A^﹣1b

所以，利用MATLAB求系数矩阵A的逆矩阵，可以求线性方程组的解。

【例2-3】　利用MATLAB求系数矩阵的逆矩阵方法，求如下线性方程组的解。

MATLAB命令程序如下：

2.4.4　矩阵的特征值和特征向量

矩阵的特征值与特征向量在科学计算中广泛应用。设A为n阶方阵，使得等式Av=Dv成立，则D称为A的特征值，向量v称为A的特征向量。MATLAB语言用函数eig（A）求矩阵的特征值和特征向量，常用下面两种格式：

（1）E=eig（A）求矩阵A的特征值，构成向量E；

（2）[v，D]=eig（A）求矩阵A的特征值，构成对角矩阵，并求A的特征向量v。

例如：

显然，A∗v=v∗D，故D和v分别是A矩阵的特征值和特征向量。

特征值还可以应用于求解一元多次方程的根，具体方法是，先将方程的多项式系数组成行向量a，然后用compan（a）函数构造成伴随矩阵A，最后再用eig（A）函数求A的特征值，特征值就是方程的根。

【例2-4】　用MATLAB求特征值的方法求解一元多次方程的根，方程如下：

x⁵﹣5x⁴＋5x³＋5x²﹣6x=0

MATLAB命令程序如下：

当然，求一元多次方程的根还可以利用多项式函数roots。

显然，用这两种不同方法求解一元多次方程的根，结果是一样的。

2.4.5　矩阵的分解

矩阵有多种分解方法，常见的有对称正定矩阵分解（Cholesky）、高斯消去法分解（LU）、正交分解（QR）和矩阵的奇异值分解（SVD）。

1．对称正定矩阵分解

MATLAB语言中的对称正定矩阵Cholesky分解用函数chol（A），函数语法格式如下：

其中，分解后的R满足R′∗R=A。若A是n阶对称正定矩阵，则R为实数的非奇异上三角矩阵；若A是非正定矩阵，则产生错误信息。

其中，分解后的R满足R′∗R=A。若A是n阶对称正定矩阵，则R为实数的非奇异上三角矩阵，p=0；若A是非正定矩阵，则p为正整数。

例如，已知A=[1 1 1；1 2 3；1 3 6]，求该矩阵的Cholesky分解。

MATLAB语言程序代码及结果如下：

由结果可知，Cholesky分解得到的R矩阵是一个实数的非奇异上三角矩阵，且满足R′∗R=A。

当A为非正定矩阵时，用Cholesky分解，错误信息如下：

2．矩阵的高斯消去法分解

高斯消去法分解是在线性代数中矩阵分解的一种重要方法，主要应用在数值分析中，用来解线性方程及计算行列式。矩阵的高斯消去法分解又称为三角分解，是将一个一般方矩阵分解成一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U，且满足A=LU，故称为LU分解。MATLAB语言用lu（A）函数实现LU分解。函数语法格式如下：

其中，L为下三角矩阵或其变换形式，U为上三角矩阵，且满足LU=A。

其中，L为下三角矩阵，U为上三角矩阵，P为单位矩阵的行变换矩阵，且满足LU=PA。

例如，已知A=[1 2 3；4 5 6；7 8 9]，求该矩阵的LU分解。

MATLAB语言程序代码及结果如下：

由上述结果可知，LU分解得到的L是一个下三角变换矩阵，U是一个上三角矩阵，且满足L∗U=A。

同样的矩阵A，若用另一种LU分解，结果如下：

由上述结果可知，LU分解得到的L是一个下三角矩阵，U是一个上三角矩阵，P为单位矩阵的行变换矩阵，且满足L∗U=P∗A。

3．矩阵的正交分解

矩阵的正交分解是将一个一般矩阵A分解成一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积，且满足A=QR，故称为QR分解。

MATLAB语言用qr（A）函数实现QR分解。函数语法格式如下：

其中，Q为正交矩阵，R为上三角矩阵，且满足QR=A。

其中，Q为正交矩阵，R为对角元素按大小降序排列的上三角矩阵，E为单位矩阵的变换形式，且满足QR=AE。

例如，已知A=[1 2 3；4 5 6；7 8 9]，求该矩阵的QR分解。

MATLAB语言程序代码及结果如下：

由上述结果可知，QR分解得到的Q是一个正交矩阵，R是一个上三角矩阵，且满足Q∗R=A。

同样的矩阵A，若用另一种QR分解，结果如下：

由上述结果可知，QR分解得到的Q为正交矩阵，R为对角元素按大小降序排列的上三角矩阵，E为单位矩阵的变换形式，且满足Q∗R=A∗E。

4．矩阵的奇异值分解

奇异值分解（Singular Value Decomposition）是线性代数中一种重要的矩阵分解方法，可以应用在信号处理和统计学等领域。矩阵的奇异值分解是将一个一般矩阵A分解成一个与A同大小的对角矩阵S，两个酉矩阵U和V，且满足A=U∗S∗V'。

MATLAB语言用svd（A）函数实现奇异值分解。函数语法格式如下：

s=svd（A）产生矩阵A的奇异值向量。

[U，S，V]=svd（A）产生一个与A同大小的对角矩阵S、两个酉矩阵U和V，且满足A=U∗S∗V'。若A为m×n阵，则U为m×m阵，V为n×n阵。奇异值在S的对角线上，非负且按降序排列。

例如，已知A=[1 2 3；4 5 6]，求该矩阵的奇异值分解。

MATLAB语言程序代码及结果如下：

由上述结果可知，奇异值分解得到的一个与A同大小的对角矩阵S、两个酉矩阵U和V，且满足A=U∗S∗V'。

2.4.6　矩阵的信息获取函数

MATLAB语言提供了很多函数以获取矩阵的各种属性信息，包括矩阵的大小、矩阵的长度和矩阵元素的个数等。

1．size

MATLAB语言可以用size（A）函数来获取矩阵A的行和列的数。函数的调用格式如下：

D=size（A）返回一个行和列数构成两个元素的行向量；

[M，N]=size（A）返回矩阵A的行数为M，列数为N。

例如，已知A=[1 2 3；4 5 6]，求该矩阵的行数和列数。

MATLAB语言程序代码及结果如下：

2．length

MATLAB语言可以用length（A）函数来获取矩阵A的行数和列数的较大者，即length（A）=max（size（A））。函数的调用格式如下：

d=length（A）返回矩阵A的行数和列数的较大者。

例如：

3．numel

MATLAB语言可以用numel（A）函数来获取矩阵A的元素的总个数。函数的调用格式如下：

n=numel（A）返回矩阵A的元素的总个数。

例如：