4.6　数值计算应用实例

【例4-21】　已知多项式p₁（x）=x⁴﹣3x³＋5x＋1，p₂（x）=x³＋2x²﹣6，求：

（1）p（x）=p₁（x）＋p₂（x）；

（2）p（x）=p₁（x）﹣p₂（x）；

（3）p（x）=p₁（x）×p₂（x）；

（4）p（x）=p₁（x）/p₂（x）。

程序代码如下：

程序运行结果：

【例4-22】　已知多项式为p（x）=x⁴﹣2x²＋4x﹣6，分别求x=3和x=[0，2，4，6，8]向量的多项式的值。

程序代码如下：

程序运行结果：

【例4-23】　已知多项式为p（x）=x⁴﹣2x²＋4x﹣6，试求：

（1）用roots函数求该多项式的根r；

（2）用poly函数求根为r的多项式系数。

程序代码如下：

程序运行结果：

【例4-24】　已知两个多项式为p₁（x）=x⁴﹣3x³＋x＋2，p₂（x）=x³﹣2x²＋4，试求：

（1）多项式p₁（x）的导数；

（2）两个多项式乘积p₁（x）∗p₂（x）的导数；

（3）两个多项式相除p₂（x）/p₁（x）的导数。

程序代码如下：

程序运行结果：

【例4-25】　已知分式表达式为，试求：

（1）f（s）的部分分式展开式；

（2）将部分分式展开式转换为分式表达式。

程序代码如下：

程序运行结果：

【例4-26】　某电路元件，测试两端电压U与流过电流I的关系，实测数据见表4-3，用不同插值方法（最接近点法、线性法、三次样条法和三次多项式法）计算I=9A处的电压U。

程序代码如下：

程序运行结果：

【例4-27】　某实验对一幅灰度图像灰度分布做测试。用i表示图像的宽度（PPI），j表示图像的深度（PPI），I表示测得的各点图像颜色的灰度，测量结果如表4-4所示。

（1）分别用最近点二维插值、三次样条插值、线性二维插值法求（13，12）点的灰度值；

（2）用三次多项式插值求图像宽度每1PPI，深度每1PPI处各点的灰度值，并用图形显示插值前后图像的灰度分布图。

程序代码如下：

程序运行结果：

插值前后图像的灰度分布图如图4-9所示。

【例4-28】　用polyfit函数实现一个5阶和7阶多项式在区间[0，2]内逼近函数f（x）=e^﹣0.5x＋sinx。利用绘图的方法，比较拟合的5阶多项式、7阶多项式和f（x）的区别。

程序代码如下：

程序运行结果：

比较5阶多项式和7阶多项式拟合如图4-10所示。

【例4-29】　已知矩阵，试求：

（1）用max和min函数，求每行和每列的最大和最小元素，并求整个A的最大和最小元素；

（2）求矩阵A的每行和每列的平均值和中值；

（3）对矩阵A进行各种排序；

（4）对矩阵A的各列和各行求和与求乘积；

（5）求矩阵A的行和列的标准方差；

（6）求矩阵A列元素的相关系数。

程序代码如下：

【例4-30】　已知y=e^﹣0.5xsin（2∗x），在0≤x≤π区间内，使用fminbnd函数获取y函数的极小值。

程序代码如下：

程序运行结果：

【例4-31】　使用fzero函数求f（x）=x²﹣8x＋12分别在初始值x₀=0，x₀=7附近的过零点，并求出过零点函数的值。

程序代码如下：

程序运行结果：

【例4-32】　已知矩阵，分别求矩阵A行和列的一阶和二阶前向差分。

程序代码如下：

【例4-33】　分别使用quad函数和quadl函数求的数值积分。

程序代码如下：

【例4-34】　求二重数值积分。

程序代码如下：

【例4-35】　已知二阶微分方程，试用ode45函数解微分方程，作出y—t的关系曲线图。

程序代码如下：

程序运行结果：

y—t的关系曲线如图4-11所示。

【例4-36】　洛伦兹（Lorenz）模型的状态方程表示为

取δ=10，ρ=28，β=8/3，解该微分方程，并绘制出x₁（t）—t时间曲线和x₁（t）—x₂（t）相空间曲线。

程序代码如下：

程序运行结果：

x₁（t）—t时间曲线和x₁（t）—x₂（t）相空间曲线如图4-12所示。