12.5　两个重要的极限

本章重点知识：

1.重要极限1.

2.等价无穷小及其替换定理.

3.重要极限2.

12.5.1　重要极限1

分析　显然在x=0无定义且当x→0时，分子、分母的极限均为0.

用计算器计算（x是实数，sin x中x取弧度制），可得表12-7.

从这个表格，我们可以猜测.由图12-35可知，这个猜测是正确的.

因此，我们得到重要极限1　.

分析一下这个极限的特征：

（1）极限属于型；

（2），方框中的变量必须一致，并且要趋向于0.

由此公式可以得出.

例1　求.

例2　求.

例2的结论可以作为公式直接应用.

例3　求.

例4　求.

解　令，当x→∞时，t→0，所以.

分析重要极限1，当x→0时，分子、分母的极限均为0，即当x→0时，分子、分母均为无穷小量且，具有这种特性的无穷小量在理论和应用上都非常重要.

12.5.2　等价无穷小及其替换定理

1.等价无穷小

如果当x→x0（或x→∞）时，α、β均为无穷小量，且（或）则称当x→x0（或x→∞）时，α与β是等价无穷小，记为α～β.

2.等价无穷小替换定理

若当x→x0时，α～α′，β～β′，且存在，则.

此定理对x→∞同样成立.

上述定理表明求两个无穷小之比的极限时，分子及分母都可以用等价无穷小来代替，因此可以简化计算.由重要极限1和本节例2可知，当x→0时，sin x～x，tan x～x.

例5　求.

解　x→0时，sin 5x～5x，tan 2x～2x，所以

例6　求.

解　x→0时，sin x～x，所以

注意

（1）使用等价无穷小替换时，必须指明x的趋近过程；

（2）等价无穷小之替换只能对分子或分母的因式进行替换，而不能对分子或分母中“+”“-”号连接的某一项替换，否则将可能导致错误.

下面给出一些常用的等价无穷小替换.

当x→0时，有

练一练

利用等价无穷小的性质求下列极限：

12.5.3　重要极限2

其中e为无理数，它的值为e=2.71828182845….

特征：（1）底数、指数均有变量，称为幂指函数；

（2）（1+无穷小量）无穷小量的倒数.

利用代换，当x→∞时，z→0，重要极限2又可以写成.

例7　求.

例8　求.

例9　求.

例10　求.