12.2　极限的概念

本节重点知识：

1.数列的极限.

2.函数的极限.

12.2.1　数列的极限

极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而产生的，是高等数学最基本的概念之一.我国古代数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法，即割圆术就是极限思想在几何学上的应用.

设有一圆，首先作内接正六边形，把它的面积记为A1；再作内接正十二边形，其面积记为A2；再作内接正二十四边形，其面积记为A3；循此下去，每次边数加倍，一般地把内接正6×2n-1边形的面积记为An（n∈N）.这样，就得到一系列内接正多边形的面积

A1，A2，A3，…，An，…

它们构成一列有次序的数.当n越大，内接正多边形与圆的差别就越小，从而以An作为圆面积的近似值也越精确.但是无论n取的如何大，只要n取定了，An终究只是多边形的面积，而还不是圆的面积.因此，设想n无限增大（记为n→∞，读作n趋于无穷大），即内接正多边形的边数无限增加，在这个过程中，内接正多边形无限接近于圆，同时An也无限接近于某一确定的数值，这个确定的数值就理解为圆的面积.这个确定的数值在数学上称为上面这列有次序的数（所谓数列）

A1，A2，A3，…，An，…

当n→∞时的极限.在圆面积问题中我们看到，正是这个数列的极限才精确地表达了圆的面积.

在解决实际问题中逐渐形成的这种极限方法，已成为高等数学中的一种基本方法，因此有必要作进一步的阐明.

先说明数列的概念.

按一定顺序排列的一列数

x1，x2，x3，…，xn，…

称为数列，数列中的每一个数称为数列的项，第n项xn称为数列的一般项.

例如

都是数列的例子.数列

x1，x2，x3，…，xn，…

也简记为数列{xn}.

定义1　如果当n无限增大时，数列{xn}无限趋近于一个确定的常数A，我们就称A是数列{xn}的极限，或称数列{xn}收敛于A，记作

或xn→A（n→∞）

如果当n→∞时，数列{xn}不趋于一个确定的常数，我们就说数列{xn}没有极限，或称数列{xn}是发散的.

练一练

在数轴上画出上述各数列表示的点集，并判断每个数列是否有极限.

极限的唯一性定理，数列{xn}如果有极限，则极限值必唯一.

12.2.2　函数的极限

1.当x→∞时，函数f（x）的极限

x→∞包括以下两种情况：

（1）x取正值且无限增大，表示x沿着x轴正半轴趋于正无穷大，记作x→+∞；

（2）x取负值且绝对值无限增大（即x无限减小），表示x沿着x轴负半轴趋于负无穷大，记作x→-∞.

引例　讨论当x→∞时，函数的变化趋势.

分析　列表（见表12-4）观察当x→∞时，函数的变化趋势.

当x→+∞时， ；

当x→-∞时， ，

所以，当x→∞时， .

用图像考察，从图12-22可以看出，当x→∞时，.

定义2　如果当自变量x的绝对值无限增大（记作x→∞）时，对应的函数值无限趋近于一个确定的常数A，则称A为函数f（x）当x→∞时的极限，记作

或f（x）→A（当x→∞时）.

如果x>0且无限增大（记作x→+∞），对应的函数值无限趋近于一个确定的常数A，则称A为函数f（x）当x→+∞时的极限，记作

或f（x）→A（当x→+∞时）.

同样，x<0而绝对值无限增大（记作x→-∞），对应的函数值无限趋近于一个确定的常数A，则称A为函数f（x）当x→-∞时的极限，记作

或f（x）→A（当x→-∞时）.

由上述这些极限定义不难得到如下结论：

例1　做出函数和y=2x的图像，并判断下列极限：

（1）；（2）；（3）当x→∞时，和2x的极限是否存在？

解　做出函数的图像（见图12-23）.由图像可知：

（3）虽然，但不存在，所以不存在；

同理，虽然 ，但 不存在，所以 不存在.

2.当x→x0时函数f（x）的极限

观察当x从4的两侧趋近于4时，f（x）=2x-1的变化趋势（见表12-5）.

当x从4的左右两侧趋近于4且不等于4时，f（x）=2x-1的函数值趋近于7.

用图像考察（见图12-24），从图中可以看出，当x从4的左右两侧趋近于4且不等于4时，f（x）=2x-1的函数值趋近于7，即当x→4时，2x-1→7.

因此，当x从4的两侧趋近于4但又不等于4时，就称7是2x-1的极限，记作

定义3　设函数f（x）在点x0的某个去心邻域内有定义，如果当x从x0的左右两侧无限趋近于x0且不等于x0时，函数f（x）无限趋近于一个确定的常数A，则称A是函数f（x）当x趋近于x0时的极限，记作

或f（x）→A（当x→x0时）.

注意　在上述极限的定义中，只考虑当x趋近于x0时，函数f（x）的变化趋势，并不考虑x=x0时f（x）的函数值，甚至f（x）在x0可以没有定义.

图12-25表明三个函数，注意在（c）中f（x0）是没有定义的，在（b）中f（x0）≠A，但是在上述每一种情况，无论f（x0）情况如何，都有.

练一练

通过函数的图像求下列极限：

并写出你的结论.

极限定义中“从两侧”非常重要用

表示右极限；

记号

表示左极限.

因此，为了确定极限存在，上述两个单侧极限必须都存在且相等.于是有以下定理：

定理　当x趋近于x0时，函数f（x）有极限A，是指左极限和右极限都存在，且两个单侧极限值都是A，即

例2　设函数y=g（x）的图像如图12-26所示.求下列极限：

解　从图12-26可以看出，当x从2的左侧趋近2时，g（x）趋近于3，当x从2的右侧趋近2时，g（x）趋近于1，因此

注意　g（5）≠4.

例3　考察函数，做出图像，并求下列极限：

解　函数图像如图12-27所示.

（1）从图12-27可以看出，当x从1的左侧趋近1时，F（x）趋近于4，当x从1的右侧趋近1时，F（x）趋近于0，因此

因为 ；所以 不存在.

（2）从图12-27可以看出，；；因为

例4　考察函数，做出图像，并求极限.

解　函数图像如图12-28所示.

从图12-28可以看出

因为 ；所以 .

注意　G（1）=1.