1.1.3 概率与频率

1． 概率

概率（probability,P）是用于反映某一随机事件发生的可能性大小的一种量度。一般用大写的斜体P表示。例如，我们可以用学生的考试成绩，反映该门课程掌握的情况，而概率就像成绩，是一个度量尺度，用于反映某事件发生可能性的大小。

我们根据随机事件发生概率的大小，把事件分为三类：P = 1为必然事件，发生率为100%;P =0为不可能事件，发生率为0;0 < P < 1为偶然事件。某事件在未进行之前，该事件既可能发生，也可能不发生。其中，发生概率P ≤ 0.05或P ≤ 0.01的事件为小概率事件，其实际应用意义是在一次试验、抽样或研究过程中，该事件不可能发生。

小概率事件非常重要，它是统计推断的基础。举个例子，统计起源于赌博游戏，我们虚构一个游戏，假设在一个不透明的箱子中有100个乒乓球，其中5个是黄色的，95个是白色的，现在，在一个有100名学生的班级中，每人支付1元，然后随机抽取一个球。如果抽中黄球给10元，抽不中则“谢谢参与”，请问你抽呢，还是不抽呢？

基于统计的判断，你是不该抽的，为什么呢？因为黄球所占的比例为0.05，是小概率事件，而小概率事件的应用意义是在一次抽样过程中发生的概率近似为0。因此，你基本不可能抽中。

然而小概率事件在一次抽样过程中发生概率近似0，但在群体事件中仍然可以发生。在这个例子中，发生的概率为5%，班上100名同学，理论上有5名同学可以抽到。算一下，每人1元，总共可以收100元，减去5名抽中黄球的奖金50元，是不是还稳赚50元呢？

那为什么小概率事件的界值定在0.05呢？其实这是我们人类的一种常识，有人说我也是人类，怎么就没这个常识呢，其实你也有，只不过没有发现而已。下面我们一起做个试验，然后请你回答几个问题，问题如下。

（1）你能够把一枚硬币向上抛起后，落地正面朝上吗？

（2）你能够连续抛起2次，连续正面朝上吗？

（3）你能够连续抛起3次，连续正面朝上吗？

（4）你能够连续抛起4次，连续正面朝上吗？

（5）你能够连续抛起5次，连续正面朝上吗？

在200多年前，英国的一个会场进行了类似的试验，发现会场中连续4次说能够的人寥寥无几，问到是否能够连续5次正面朝上时，几乎没人说能够。

我们用统计学理论分析一下刚才的试验，连续1次正面朝上的概率为0.5;2次正面朝上的概率为0.25;3次正面朝上的概率为0.125;4次正面朝上的概率为0.0625;5次正面朝上的概率为0.03125。因此，近似取连续4次和5次正面朝上的中间值，即为0.05，也可以理解为二十分之一。

既然有了0.05的标准，那为什么还要0.01呢？这就相当于，我们普通老百姓吃的食品肯定要满足食品卫生要求，但是宇航员吃的食品，不仅要满足食品卫生要求，还要考虑更多的营养与安全因素。当我们采用P ≤ 0.01的标准时，统计推断错误的概率将会比P ≤ 0.05时更低，结果也更加准确。

2． 频率

频率（frequency,f）是指我们进行了N次试验，其中一个事件出现的次数m与总的试验次数N的比值。

统计是基于概率进行的，我们如何能够得到某一事件发生的概率呢？比如谁能够计算出一根半截粉笔从讲台上垂直落下摔断的概率P是多少呢？科学发展至今也没有办法通过公式去计算该值。那我们怎么做到呢？

“有些事情越想越烦，做起来却极其简单”，我们只需要拿两盒同样的粉笔进行重复摔试验就可以了。如果总共有100根粉笔，断了98根，那断的频率就是f = 98/100 = 0.98。而统计学证实，当某事件发生次数较多时，频率就会收敛于概率，即f ≈ P。因此，在现实研究中，我们就是通过频率去估计概率的。概率与频率类似于量子纠缠，当我们知道某事件的频率之后，就可以用频率去估计概率。

可以这样理解：频率是针对过去的，概率是针对未来的。频率是针对已经发生的样本的，概率是针对尚不知晓的总体的；频率就像样本统计量，概率更像总体参数，我们就是用频率去估计概率的。