二 研究现状及分析

（一）模糊合作对策的国内外研究现状

最初开展模糊合作对策研究的是Aumann和Shapley[22]，他们在研究缺原子对策时，隐含地使用了最初的模糊合作对策概念，不过在那里它被称为“理想集函数”。1972年，Owen[30]在《对策的多线性扩展》一文中也隐约地使用了模糊联盟的概念。1974年，Aubin[31-34]正式提出了模糊联盟的概念，指出局中人可以以不同的参与率参加多个联盟，这个参与率用一个[0，1]的实数表示。1978年，Butnariu[35]提出了与Aubin大致相同的模糊合作对策的概念，随后研究了具有模糊联盟的合作对策的核心[36]和Shapley值[37-38]。Butnariu和Klement[39-40]从模糊关系角度提出了一类具有模糊联盟的合作对策，并提供了一整套基于三角模测度来研究模糊合作对策的方法，得到了合作环境中关于平衡、均衡分析的许多启发性成果。Mertens[41-42]以模糊联盟合作对策为工具将关于PNA空间的Aumann⁃Shap⁃ley值拓展到更大的对策空间。1992年，Sakawa和Nishizaki[43]提出了具有模糊支付（或称模糊联盟值）的n-人合作对策，即具有清晰联盟和模糊支付函数的合作对策。1994年，Sakawa和Nishizaki[44]提出了关于清晰合作对策的字典解（lexicographical solution）概念，并将其推广到n-人模糊合作对策之中。2000年，Nishizaki和Sakawa[45]从λ截集角度提出了具有模糊支付的合作对策的λ-核心，并将之应用到具有模糊参数的线性生产规划所派生出的合作对策中。2001年，Nishizaki和Sakawa[46]出版了关于模糊合作对策和多目标合作对策的专著，总结了他们之前的工作。Mareš[47-50]对Butnariu和Klement的工作提出了不同看法，给出了具有模糊支付的联盟结构及其Shapley函数，并于2001年出版了以模糊合作对策命名的专著[51]。2002年，Molina和Tejada[52]研究了模糊联盟合作对策的字典解的性质。2003年，Branzei等[53]将经典合作对策的单调分配策略扩展到具有模糊联盟的合作对策中。2004年，Branzei等[54]定义了模糊联盟合作对策的折中解（compromise value）和路径解（path solution）。2007年，陈雯[55]扩展了模糊联盟的概念，将局中人的参与程度由[0，1]的任意实数延拓为一般的模糊数，从而定义了具有二型模糊值的模糊联盟合作对策。2008年，Borkotokey[68]以Aubin定义的模糊联盟为基础，提出了一种特殊的具有模糊联盟和模糊支付的合作对策，并讨论了此模糊合作对策的模糊Shapley值，但是此模糊合作对策不具有明显的实际意义。

综上所述，若按照合作对策的模糊化程度归类，目前模糊合作对策的研究大体可以分为三类：其一，局中人参与联盟程度模糊化条件下的合作对策，即具有模糊联盟的合作对策，简称模糊联盟合作对策；其二，支付函数模糊化条件下的合作对策，即具有模糊支付的合作对策，简称模糊支付合作对策；其三，局中人参与联盟程度和支付函数均模糊化条件下的合作对策，即具有模糊联盟和模糊支付的合作对策。虽然三类模糊合作对策的研究方法各有千秋，但是最终目标都是在模糊环境下寻找一个或者一组使每个局中人都满意的分配方案，即寻找模糊合作对策的解。就目前来看，还没有一个得到普遍认可的模糊合作对策的解。尤其是对于具有模糊联盟和模糊支付的合作对策，目前国内外的研究均处于起步阶段，有很多问题值得进一步探讨。

（二）模糊Shapley值的研究现状

Shapley值是Shapley[11-12]于1953年提出的一种求解经典合作对策的公理化方法。Shapley值按照各个局中人的边际贡献来分配联盟的收益，这种方法体现了分配的合理性和公平性；当经典合作对策满足凸性时，Shap⁃ley值包含在核心中，这体现了分配的稳定性；Shapley值是唯一存在的，这又保证了求解的必要性。Shapley值的这些优良性质使其最终成为合作对策非常重要的求解方法，因此，为了求解模糊合作对策问题，不少学者自然地想到了拓展经典Shapley值的方法。

首先，在模糊联盟合作对策解的研究中，Butnariu在Aubin提出的模糊联盟概念的基础上，定义了模糊联盟合作对策的Shapley值[37-38]，然而他提出的Shapley值仅能求解一种特殊的模糊联盟合作对策，该模糊联盟合作对策既不单调非减又不连续，不能很好地适应现实的应用要求；Tsu⁃rumi等[56]定义了一种单调非减且连续的模糊联盟合作对策，它弥补了But⁃nariu提出的模糊联盟合作对策的不足，并且Tsurumi提出了可适用于任何模糊联盟合作对策的Shapley值公理。然而，与Butnariu相同，Tsurumi最终仅仅给出了一种模糊联盟合作对策的Shapley值，并没有讨论一般意义下模糊联盟合作对策的Shapley值。2008年，基于Tsurumi提出的Shapley值公理，李书金和张强[57]证明了Butnariu与Tsurumi分别提出的两种模糊联盟合作对策的Shapley值可用相同的函数表示。Huang和Liao[58]通过势函数（potential function）研究了模糊联盟合作对策Shapley值的性质。

其次，在模糊支付合作对策解的研究中，Mareš[47-51]仿照经典的Shap⁃ley函数，定义了模糊支付合作对策的模糊Shapley值。虽然他提出了模糊Shapley值应该满足的公理体系，但是Mareš给出的模糊Shapley值并不满足有效性公理。2006年，陈雯和张强[59]利用模糊数学的表现定理，重新构造了模糊支付合作对策的模糊Shapley值。与Mareš的方法相比，该模糊Shapley值能够满足类似于经典Shapley值的三条公理，但是此模糊Shapley值的存在性不能得到保证。2007年，黄礼健等[60]定义了支付函数为区间数的α-对策，并以此α-对策为纽带给出了模糊支付合作对策的模糊Shapley值，此模糊Shapley值的表达式与Mareš定义的模糊Shapley值大致相同。2007年，黄礼健[61]通过区间数的Hukuhara差运算，提出了一种新的区间Shapley值，然后通过将区间Shapley值拓展为模糊数，构造了模糊支付合作对策的Hukuhara⁃Shapley值。

最后，基于Tsurumi提出的Shapley值公理，Borkotokey[68]提出了具有模糊联盟和模糊支付的合作对策及其模糊Shapley值公理，并且重点讨论了一种特殊的具有模糊联盟和模糊支付的合作对策，给出了该类模糊合作对策的模糊Shapley值。

就目前来看，模糊联盟合作对策的Shapley值、模糊支付合作对策的模糊Shapley值已经有相对较为完善的研究，而对于Borkotokey提出的联盟和支付同时模糊化的合作对策，其模糊Shapley值的研究才刚刚起步，因此如何利用现有理论基础进一步完善模糊Shapley值的研究仍是以后工作的重点。

（三）模糊核心的研究现状

1953年，Gillies[13]在他的博士论文中提出了核心（core）的概念，并将其作为多人合作对策问题一种求解的方法。核心是从Pareto最优性和个体合理性角度定义的一种合作对策解。为了求解模糊合作对策，有些学者也将核心的概念扩展到模糊支付合作对策中。

首先，Aubin[31，34]在提出模糊联盟的同时，拓展了核心的概念，提出了模糊联盟合作对策（N，w）的核心C（N，w）：

其中N为局中人的集合，K为任意的模糊联盟，x是n维向量，n是局中人的个数，R为实数集。可以看出，Aubin定义的核心实际上仍是分配大联盟N的收益w（N），并且局中人i在模糊联盟K中的分配取决于他在大联盟N中的分配x_i和在模糊联盟K中的参与率K（i）。1979年，Butnar⁃iu[36-37]从“优超”关系的角度，提出了模糊联盟合作对策的另一种核心，但是与Aubin的方法相同，Butnariu也是利用经典分配来构造模糊联盟合作对策的核心。随后，模糊联盟合作对策的核心研究主要是基于上述两种核心（即Aubin和Butnariu定义的核心）展开的：2001年，在Aubin定义的核心基础上，Nishizaki与Sakawa[46]提出了模糊联盟合作对策的最小核心，并从线性规划角度给出了最小核心的求解方法；2004年，Tijs等[62]研究了Aubin定义的核心性质，并讨论了模糊联盟合作对策中核心与稳定集（stable set）的相互关系；Azrieli与Lehrer[63]研究了几类具有特殊性质的模糊联盟合作对策的核心；Hwang[64]、Hwang和Liao[65]从公理化角度刻画了模糊联盟合作对策的核心，研究了核心的一致性与反一致性；Butnariu和Kroupa[66]从三角模角度定义了模糊联盟合作对策的扩大核心（enlarged core）；高作峰等[67]以模糊联盟为工具提出了重复模糊合作对策及其核心和稳定集，讨论了核心和稳定集之间的关系及凸重复模糊合作对策的一些性质。

其次，对于具有模糊支付的合作对策，Nishizaki和Sakawa[45-46]从λ截集角度讨论了模糊支付合作对策的λ-核心，并将之应用到具有模糊参数的线性生产规划所派生出的合作对策中。Mareš[51]基于Dubios和Prade[70-72]的模糊数排序方法定义了另一种模糊核心，但此模糊核心的计算相当困难。2007年，黄礼健[61]基于区间数的序关系定义了具有区间支付合作对策的核心。

截至2010年，还没有学者将核心扩展到具有模糊联盟和模糊支付的合作对策中。

可以看出，模糊核心的研究还不是很完善，无论是对于模糊联盟合作对策还是对于模糊支付合作对策，都不存在一种真正意义上的模糊核心。因此，如何更加合理地将经典核心扩展到模糊联盟合作对策、模糊支付合作对策以及具有模糊联盟和模糊支付的合作对策中仍将是以后工作的重点。

（四）虚拟企业收益分配的国内外研究现状

1.Shapley值在虚拟企业收益分配问题中的应用

目前，基于Shapley值的虚拟企业收益分配问题引起不少国内外学者的关注。

在国外，Robinson[73]最早将Shapley值应用到虚拟企业问题中，他将虚拟企业的供应链合作模式看作一个合作对策模型，并且把基于Shapley值的供应链库存成本分配值与Gerchak等的文章[74]中的按比例（fractional）分配结果做了对比。Hartman和Dror[75]建立了集中控制下的n个商店的利益（或成本）分配模型，他们提出了三个分配法则——稳定性、公平性和计算简易性，在检验了众多分配方法后，他们证实只有Shapley值和核仁（nucleolus）是同时满足稳定性和公平性的分配方法，但是计算复杂度为O（2n）。2003年，Raghunathan[76]分析了由一个制造商和n个零售商组成的供应链中需求信息共享的价值及需求相关性对供应链的影响，并利用Sha⁃pley值对共享需求信息取得的收益进行分配。结果表明，随着需求相关性的增大，制造商的分配值将逐渐增大，而零售商的分配值将逐渐减少；同时，由于零售商信息的边际价值随着需求相关性的增大而减小，制造商将限制需求相关性较大的零售商加入信息共享的行列。Granot和Sošic＇[77]建立了n个零售商共享库存的离散配送模型，并利用Shapley值对合作利益进行了分配，结论为：局中人在大联盟N中的Shapley值不一定包含在核心中。Reinhardt和Dada[78]将n家公司投入关键资源的虚拟生产模式看作一个合作对策模型，并且提出了基于Shapley值的收益分配策略。Kemahhoğlu Ziya[79]研究了随机需求下由一个供应商和n个零售商组成的供应链中的库存共享问题，证明了基于Shapley值的分配策略是满足个体合理性的。Leng和Parlar[80]研究了由一个供应商、一个制造商和一个零售商所组成的三级供应链，此供应链内部共享需求信息，并且信息共享后的利润利用Shapley值和核仁进行分配。Tsurumi等在文献中将其提出的具有Choquet积分形式的模糊对策及其Shapley值应用到合作生产收益分配问题中，提出了局中人部分参与合作时的收益分配策略。[56]

在国内，叶飞、郭东风与孙东川[81]针对动态联盟收益分配问题，提出了Shapley值法等四种分配方法。戴建华和薛恒新[82]将Shapley值应用于动态联盟伙伴企业间的利益分配问题中，然后分析了用Shapley值法进行动态联盟利益分配的成功与不足，并针对其不足提出了一种基于风险因子的修正算法；叶飞[83]为了解决由一个分销商和两个供应商组建的供应链协作利益分配问题，提出采用合作对策理论中的Shapley值法、核心法、MRCS法及Nash协商模型来协调合作各方的收益，并利用TOPSIS思想把基于四种不同方法的分配值加权求和，以此得到综合的分配结果；马士华和王鹏[84]将Shapley值法用于解决供应链合作伙伴间的收益分配问题，并考虑到激励企业进行技术创新对提高供应链竞争力的重要性，对各成员企业的收益分配额进行了调整；刘浪、唐海军与陈仲君[85]将Shapley值法用于解决动态联盟利益分配问题，结果表明Shapley值可以克服Nash⁃Harsany谈判模型的不足，即Shapley值能够解决核心为空的动态联盟的利益分配问题；吴辉球[86]给出基于Shapley值的虚拟企业收益分配模型，并将Shapley值法与其提出的最大熵解法做了对比；林琳[87]将Shapley值应用到企业动态联盟的窜货模型中，并提出了窜货模型的改进Shapley值法；刘卫华和赵潘[88]将Shapley值法应用到供应链伙伴企业的利益分配问题中，并验证了分配结果的有效性；沙亚军[89]在其硕士毕业论文《供应链上合作博弈解研究》中，研究了一种特殊的模糊联盟合作对策，并将其Shapley值应用到供应链合作的利益分配问题中；张润红和罗荣桂[90]分析了由Shapley提出的用于解决n-人合作对策问题的Shapley值法，并用此方法解决了共同配送企业之间的利益分配问题，并根据Shapley值法的不足提出了修正方案；孙世民、张吉国与王继永[91]提出了“以Shapley值法为基础、多因素综合修正、理想点原理确定修正系数”的优质猪肉供应链合作伙伴利益分配的研究思路和具体方法；李震等[92]分析了用于解决n-人合作对策问题的Shapley值法模型，并应用该模型来解决供应链联盟企业间利益分配问题，最后根据Shapley值法的不足提出了结合企业努力程度、面临的风险和资本增值能力等影响因素进行利益分配调整的修正算法；陈雯和张强等[93]提出了具有模糊支付的合作对策的模糊Shapley值，并给出了基于模糊Shapley值的虚拟企业利益分配策略；杜河建[94]分析了Mareš定义的模糊Shapley值的性质，并将其应用到动态联盟利益分配问题中。

可见，已有文献大多利用经典Shapley值解决确定环境下的虚拟企业收益分配问题，而很少有学者将模糊Shapley值应用到不确定环境下的虚拟企业收益分配问题中。由第一节第三小节的分析可知，不确定环境下的虚拟企业收益问题实质上是模糊合作对策的求解问题，而模糊Shapley值的研究目前还不是很完善。因此，开展模糊Shapley值及其在虚拟企业收益分配中的应用研究具有重要的理论意义和应用价值。

2.核心在虚拟企业收益分配问题中的应用

合作对策的核心有可能是空集，因此在利用核心进行虚拟企业利益分配时，很多国外学者重点讨论了一些特殊的合作对策模型及其核心的非空性。1993年，Robinson[73]证明了Gerchak和Gupta[74]提出的合作对策的核心是非空的，并指出按比例分配值不属于核心，而基于Shapley值和核仁的分配值包含于核心。Hartman和Dror[75]提出了三种分配法则——稳定性、公平性和计算简易性，其中符合“稳定性”的分配集合等价于核心。Hart⁃man等[95]利用合作对策解决供应链中n个零售商共享库存的收益分配问题，并证明了两种供应链库存共享模型的核心存在性。Hartman和Dror[96]研究了由n个零售商组成的、需求函数为相关正态分布的一阶库存共享模型，并证明了该合作对策的核心是非空的。Müller等[97]证明了无论联合需求服从什么分布，其所提出的库存共享模型的核心都是非空的，并给出了核心为单点集的条件。Slikker等[98]提出了允许零售商转运货物的库存共享模型，证明了当零售商们的零售价和批发价不同时，该对策模型的核心是非空的。Chen和Zhang[99]利用随机线性规划（LP）描述了集中控制下的库存共享问题，并指明核心的非空性取决于随机线性规划的强对偶问题。他们在文献[99]中还讨论了订货成本是凹函数的报童模型，并证明了该模型的核心是存在的，但是验证分配是否属于核心是一种NP⁃hard问题。Hart⁃man和Dror[100]研究了n个零售商面对随机相关需求的库存集中控制模型，并讨论了该模型的核心存在性。Hartman和Dror[101]提出了联合订货的模型，并分析了该模型的核心存在性。Klijn和Slikker[102]建立了由m个顾客、n个分销中心组成的库存选址模型，此模型允许分销中心之间组成联盟以最小化库存成本，在一定的假设条件下此模型的核心是非空的。Özen等[103]研究了n个零售商、m个仓库和1个供应商的合作对策问题，其中零售商的货物由仓库供应，并且在需求实现后零售商可以向仓库要求退货或者调整初始的订货量，这样的对策模型的核心是非空的。Özen和Sošic＇[104]扩展了上述文献[103]中的对策模型，分析了两种契约机制（批发价契约和退货契约）在三个模型中（不合作的零售商、合作的零售商、制造商重新销售退回货物）对制造商利润产生的影响，最后得出结论：两种契约机制下的模型都有非空的核心。Leng和Parlar[80]证明了在需求信息共享条件下供应商、制造商和零售商所组成的三级供应链的核心是非空的。Ben⁃Zv[105]、Ben⁃Zv与Gerchak[106]建立了由多个具有不同缺货成本的零售商组成的报童模型，并证明了在集中控制零售商库存的条件下模型的核心是存在的。Özen等[107]分析了一些简单的报童模型，证明了当该模型为凸对策时，对策的边际向量是核心的极点，谈判集（bargaining set）与核心重合，Shap⁃ley值与核心的重心（barycenter）重合。Luis A.Guardiola等[108]研究了由一个供应商和多个零售商组成的供应链的补货模型，并证明了集中控制下合作对策的核心是非空的。杜河建[94]分析了Mareš定义的模糊核心的性质，并将其应用到动态联盟利益分配问题中。Nishizaki和Sakawa[45]从λ截集角度讨论了模糊支付合作对策的λ-核心，并将之应用到具有模糊参数的多目标线性生产规划所派生出的多目标合作对策中。

可以看出，绝大部分国外学者利用核心解决供应链中的库存共享问题，并且着重讨论了核心的存在性。目前来看，国内将核心用于解决虚拟企业利益分配问题的研究并不是很多，尹钢等[109]、王春琦和雷勋平[110]以线性规划和对策论为基础，研究了供应链中的合作生产问题，并提出了基于核心的供应链收益分配策略；杨金钢[111]研究了基于核心的库存成本分摊问题。

3.其他方法在虚拟企业收益分配中的应用

除了Shapley值和核心，国内外很多学者[112-121]将Nash谈判解应用到供应链利益分配问题中；有文献[122-124]通过改变契约参数来实现合作利益在虚拟企业间的合理分配；还有文献[81，83，125]采用合作对策理论中最小费用剩余资金法（minimum costs remaining savings method，MCRS）及Nash协商模型来协调合作各方的收益；刘松等[126-127]利用可拓理论解决供应链的收益分配问题；吴育华等[128]采用ι值法给出了供应链库存效益分配模型；陈菊红等[129]分析了虚拟企业收益分配过程应考虑的因素，在此基础上应用博弈论建立了虚拟企业收益分配的博弈模型；叶春等[130]、李晔[131]、兰天和徐剑[132]、闫威和陈林波[133]利用基于风险、贡献度等的比例法解决虚拟企业的收益分配问题；韩建军和郭耀煌[134]、张向阳等[135]、姜大鹏与和炳全[136]运用委托-代理理论分析虚拟企业的收益分配问题；王晓萍和赵晓军[137]运用K-S解法分配逆向供应链成员的合作利润；Sakawa等[138]建立了生产与运输协调的模糊规划模型，并利用对策论中的核仁给出了生产与运输部门之间的收益分配策略；杨晶等[139]、叶飞[83]等综合利用多种分配方法对虚拟企业的收益进行分配；张捍东等[140]分析了企业动态联盟利益分配过程中应考虑的相关因素，讨论了几种常见的基于对策论的企业动态联盟利益分配策略。